Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 388
i

ABCA1B1C1  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой AB  =  5, AA1  =  5. Точки Р и Q  — се­ре­ди­ны ребер АВ и А1С1 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \varphi конец дроби , где \varphi  — угол между пря­мы­ми PQ и АВ1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­дем ко­ор­ди­на­ты точек P и Q как ко­ор­ди­на­ты се­ре­дин со­от­вет­ству­ю­щих от­рез­ков. Имеем: A левая круг­лая скоб­ка 0; 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , A_1 левая круг­лая скоб­ка 0; 0; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , C_1 левая круг­лая скоб­ка 0; 5; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да P левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , Q левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но,

\overrightarrowPQ левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;5 пра­вая круг­лая скоб­ка ,       \overrightarrowAB_1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ко­си­нус угла между пря­мы­ми равен мо­ду­лю ко­си­ну­са угла между на­прав­ля­ю­щи­ми век­то­ра­ми этих пря­мых:

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \widehatPQ;AB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =| ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \widehat\overrightarrowPQ;\overrightarrowAB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка | =

= дробь: чис­ли­тель: \left| левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 5 умно­жить на 5|, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 75, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 75 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 25 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \varphi конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка \widehatPQ;AB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 90, зна­ме­на­тель: 400 конец дроби конец дроби =160.

Ответ: 160.

Сложность: IV
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025